Определение волатильности

В сущности, волатильность - это мера неопределенности инвестиции. Любое движение цены может быть разбито на две части: 1) ожидаемое движение цены и 2) движение, которое мы не ожидали.

Ожидаемая (не волатильная) часть движения цены инвестиции обычно описывается понятием Ожидаемой ставки доходности (expected growth rate). На коротком промежутке времени большинство инвесторов "предсказывают" будущую норму доходности исходя из недавней модели поведения роста цены. Обычной мерой, используемой для описания ставки (нормы) доходности является среднегеометрическая ставка доходности или CAGR. На рисунке1 центральная светло-красная линия показывает "ожидаемый" инвестором рост цены инвестиции, которая была приобретена по $10 и удерживалась 12 месяцев.

Не ожидаемая часть движения цены инвестиции и есть ее волатильность. Эта часть может как расти, так и падать с равной вероятностью, т.к. по определению она не предсказуема. Ввиду нашей неопределенности относительно движения цены, существует вероятность распределения цен вокруг своей "ожидаемой" цены. Это распределение вероятности лежит в основе концепции "волатильности". Описывая его форму и размер мы по сути описываем волатильность. На рисунке1 вероятность каждой конечной цены инвестиции показана цветом. Шкала цвета начинается от голубого (наименее вероятно) цвета через пурпурный и красный до желтого (наиболее вероятно) цвета.

Цветная гистограмма показанная на рисунке1 основана на 25000 независимых испытаниях вымышленных инвестиций, чьи годовые нормы доходности равны 100% с очень высокой волатильностью. Эффект воздействия высокой волатильности очень четко показан на рисунке: некоторые инвесторы могли видеть доходность выше 600%, в то время как другие могли потерять более 60% вложений. Следовательно, первоначальная неопределенность инвесторов относительно результата своих вложений на самом деле очень высокая.

Меры и модели волатильности

Волатильность не имеет традиционной или универсальной меры измерения, но одним из принятых способов ее измерения является метод геометрического стандартного отклонения (geometrical standard deviation - GSD). Также в других источниках финансовой литературы ее измеряют показателем Сигмы = (ln (1 + GSD/100). Эти две меры волатильности имеют смысл только в контексте определенной общепринятой теории изменения цен на инвестиции во времени. Такую теорию, ввиду отсутствия подходящего термина можно назвать "Геометрической моделью Броуновского движения" (Geometric Brownian motion model), которая в целом очень хорошо описывает большое количество разных данных. Отчасти, более четкий расчет может быть получен за счет использования GARCH моделей, но в качестве основной теории "Геометрическая модель Броуновского движения" достигла почти что канонического статуса внутри финансового анализа.

Вкратце, основой для "предсказания" "Геометрической моделью Броуновского движения" изменений цен инвестиции является то, что вероятность распределения движений цены будет иметь очень особую форму, известную как "логнормальное" распределение. GSD отличная мера измерения волатильности, когда распределения цен хотя бы приблизительно логнормальное, т.к. оно (GSD) основано на фундаментальных параметрах этого распределения. В действительности, это просто стандартное отклонение логарифмов всех доходностей инвестиции.

Большинству людей, включая большинству инвесторов, очень тяжелым корректно увидеть в визуальной форме как волатильность влияет на инвестицию. По этой причине автор создал програмку под название Volatility Laboratory. Кликните, чтобы скачать программу

Визуализация Волатильности в Логарифмической шкале

Волатильность, показанная на рисунке1 очень несимметрична. Светло-красный "конверт" очерчивает область, в которой траектория цены наиболее желательна для колебаний; эта область, как видно, расширяется более быстрыми темпами в направлении высоких цен, нежели наоборот. Эта область известна как "конверт из двух сигм".

Если мы преобразуем все цены, взяв их логарифмы и затем перерисуем график, тогда мы увидим 3 вещи:

• "Ожидаемая" траектория движения цены становиться четкой прямой линией;
• Конверт из 2-х сигм становится симметричным вокруг центра "ожидаемой" траектории;
• Распределение вероятности приобретает классическую форму , известную как "Нормальное колоколообразное" распределение.

Именно эти преобразования и показаны на Рисунке 2

Заметьте, что конверт из 2-х сигм теперь выглядит как квадратичная кривая, лежащий на своей стороне и скошен вверх так, как и линия, отображающая нашу ожидаемую цену инвестиции. Это именно то, что объясняет фразу "неопределенность возрастает как корень из времени". Если вы сравните размер неопределенности с прибылью от "ожидаемой" цены акции, то станет ясно, что чем дольше акция удерживается в портфеле, тем лучше повышение цены в сравнении с повышением в неопределенности. Это основа для долгосрочной стратегии "Купи и держи", которая работает отлично пока цена инвестиции продолжает идти в рамках ожидаемой динамики.

В самом начале, волатильность повышается очень быстро, буквально "взлетая" с бесконечной скоростью в начальной точке цены, а затем неуклонно замедляется на всю оставшуюся продолжительность графика.

GSD траектории цены на этих двух рисунках было установлено на уровне 100, который является очень высоким уровнем волатильности. CAGR также был установлен на 100, подразумевая, что инвестиция удвоится за год. Но если вы посмотрите на рисунок, то увидите, что центральная красная линия не закрылась на отметке в $20, хотя по логике вещей должна была. Вместо этого, она закрывается на отметке в $15.74, что меньше, чем 100% рост инвестиции. Почему это произошло один из важнейших вопросов этой статьи.

Если вы проведете большое количество независимых испытаний этой инвестиционной модели с Постоянными параметрами Риска и доходности, тогда Среднее всех конечных цен на самом деле будет той величиной, которая "предсказана" (определена) Ставкой доходности (growth rate). В приведенном выше примере, это среднее является $20, ввиду 100% повышения стоимости за один год. Распределение вероятности цен очень сильно скошено, тем не менее, медиана конечной цены будет намного меньше чем средняя цена. (Вспомните определение медианы: 50% всех цен будет выше медианы, 50% будет ниже медианы). Центральная светло- красная линия на обоих рисунках прослеживает движение медианой цены, а не средней за период времени. Наиболее важно, что нормальное распределение, которое четко видно когда оно построено в логарифмической шкале координат имеет центр в медианой цене, а не в средней. Когда GSD высок, как в случае с множеством спекулятивных инвестиций, тогда медианный доход, которые получают инвесторы будет намного ниже, чем средний или "ожидаемый" доход. На самом деле весь конверт из двух сигм намного меньше чем среднее, т.к. отцентрирован по медиане.

Дефляция (понижение) ожидаемой доходности

Для расчета прироста стоимости инвестиции по медианой цены, нужно понизить CAGR на долю, которая зависит от квадрата (второй степени) волатильности.

Методика Дефляции CAGR:

Сначала конвертируйте и GSD и CAGR в форму коэффициента (разделите на 100 и прибавьте 1).

1. Тогда дефлятором будет: exp(-ln(GSD)2/2), где ln(x) - натуральный логарифм числа x; Exp - экспонента числа x.
2. Умножьте CAGR на этот дефлятор и затем обратно конвертируйте полученное значение в проценты (вычете 1 и прибавьте 100)

К примеру, в случае CAGR и GSD = 100 дефлятор равняется 0.786. Таким образом CAGR рассчитанный по медианной цене равен всего лишь 1.57 или 57%.

В примере выше, эффектом высокого GSD равного 100 явилось понижение CAGR со 100 до 57%. Менее высокая волатильность вызывает меньшее понижение CAGR. Волатильность 30, типичная для многих механических трейдеров подразумевает использование коэффициента понижения 0,966, означающий, что медианный доход всего на 3.4% ниже ожидаемого (среднего) дохода.

Loren Cobb считает, что имеет смысл понижать CAGR только тогда, когда волатильность инвестиции поднимается выше 30% или когда сравниваем две инвестиции с одинаковыми ставками доходности, но с разными уровнями волатильности.

Скрытые предположения

Несколько дополнительный предупреждений:

• Логнормальное распределение, которое использовалось здесь в действительности занижает истинную волатильность, которую инвесторы испытывают. Необыкновенно большие отклонения в действительности случаются чаще, чем логнормальное распределение предсказывает, поэтому область из 2-х сигм, рассчитанная из логнормальной модели отчасти меньше, чем должна быть;
• Параметры модели остаются действительными (постоянными) на неопределенный период времени. Если инвестор планирует слишком далеко в будущее, то модель перестанет действовать. Таким образом преимущество долгосрочного удержания позиции уменьшается, т.к. неопределенность благодаря Постоянству параметров увеличивается. В какой-то неизвестный момент времени преимущество исчезает и инвестиция должна быть переоценена.

Восходящая волатильность против нисходящей

Когда рынок делает резкое и неожиданное движение некоторые говорят: "Я ненавижу нисходящую волатильность, однако восходящая волатильность мне очень нравится".

Такие высказывания порождают глубокую путаницу о природе волатильности. Хотя одиночные движения цены могут быть как вверх, так и вниз, по определению волатильность не может быть ни нисходящей, ни восходящей. Волатильность не является характеристикой любого единичного движения. Напротив, она является характеристикой всех движений в рамках рассматриваемой совокупности. Это четко понятно из способа измерения, основанного на стандартном отклонении. Именно так, волатильность описывает размер типичного отклонения доходности от ожидаемого уровня. Эти отклонения обязательно приблизительно равны как в положительном, так и отрицательном направлении.

Безусловно, всегда можно рассчитать стандартное отклонение только на нисходящих движениях, что время от времени позиционируется как "нисходящая волатильность". Частью разумного обоснования для этой меры лежит идея того, что кто-то хотел бы найти инвестицию, чья "восходящая волатильность" на много больше чем "нисходящая". На практике полезность данного подхода не была доказана, т.к. логарифмическое преобразование изменяет оба вида волатильности одинаково эффективно, как "предсказано" теорией "Геометрической модели Броуновского Движения". Но это не означает , что они будут всегда одинаковы для любого типа инвестиции. Вместо этого, можно утверждать, что любые инвестиции, которые приблизительно подпадают под "Геометрическую модель Броуновского Движения" не получат выгоду от данного подхода. Но так как большинство инвестиции попадают под теорию "Геометрической модели Броуновского Движения" в той или иной степени попытка разделения волатильности на восходящую-нисходящую обычно тщетна.

Волатильность и Риск

Риск определяется как возможность неблагоприятного события. Во многих инвестиционных случаях волатильность может быть использована для нахождения нижних границ вероятностей этих событий. К примеру, много избегающих риск инвесторов (risk-averse) хотят видеть точный, недвусмысленный расчет вероятности того, что определенная инвестиция может упасть, скажем, на половину от своей первоначальной стоимости. Получив правдоподобную оценку CAGR и GSD инвестиции, можно рассчитать риск. Тем не менее, ссылаясь на проблемы указанные в параграфе "Скрытые предположения" любой такой расчет даст только нижнюю границу - реальная вероятность скорее всего будет выше. Однако, получение оценок таких уровней риска до сих пор является важным компонентом эффективного риск-менеджмента.

Для наиболее неблагоприятных событий, которые могут быть однозначно описаны в терминах цены инвестиции, Рисунок3 предлагает подсказку по вычислению вероятности риска. С тех пор как вероятность распределения доходностей, измеренная на логарифмической шкале напоминает нормальную "колоколообразную" кривую можно найти вероятность в таблице нормального распределения.

Для простых людей, не имеющих доступа к продвинутых числовым методам, Лаборатория Волатильности (программа, созданная Л.Каббом) предлагает некоторую помощь. Экран показывает конверт из 2-х сигм, который изменяется при изменениях CAGR и волатильности. Ценовые движения, которые происходят за пределы конверта из 2-х сигм случаются в 5% случаях, поэтому вероятность падения ниже линии в две сигмы равна 2,5%. Эта линия дает нам уровень уже известного риска и как следствие позволяет оценить вероятность схожих рисков.

Меню прокрутки CAGR и Volatility позволяет управлять доходностью и волатильность. Например, на рисунке 4 CAGR установлен на уровне 55%, тогда GSD должен быть 22%, для того, чтобы дно конверта из двух сигм коснулось $10. Другими словами, если волатильность превзойдет 22% именно в этом примере, тогда вероятность потери после удержания позиции 1 год становится выше на 2.5%.

Опция "Logarithmic" изменяет отображение из прямолинейной формы в логарифмическую. Опция "Color"отключает цвета и изображение предстает в черно-белой форме.

Кнопка "Start/Stop" активирует/приостанавливает процесс генерирования испытаний определенного инвестиционного процесса. Прокрутка "Speed" регулирует скорость испытаний. Когда происходит имитация испытаний три ключевых показателя (Mean CAGR, Median CAGR, Volatility) непрерывно изменяются. Волатильность (volatility) рассчитывается как стандартное отклонение итоговых доходностей, рассчитанных через нахождение их логарифма. Этот момент стоит отметить: показанная в программе волатильность рассчитывается исходя из НЕ всех ценовым движений какой-то отдельной траектории, что считается нормальным при тестировании какой-либо инвестиционной стратегии.

Вместо этого она рассчитывается по всем итоговым доходностям во всей совокупности наших испытаний (т.е. к примеру, находим конечную цену на конец периода, скажем на 31 декабря. Далее находим доходность за данный период при помощи логарифма (Ln (Конечная цена / Начальная цена)). Уже затем находим стандартное отклонение всех доходностей, что и даст нам волатильность). Аналогично, средний CAGR рассчитывается исходя из итоговых доходностей, а медиана из средней всех итогых доходностей, рассчитанных через логарифм. Именно поэтому эти основные показатели обеспечивают строгий контроль качества испытаний.

Loren Cobb